Ecuaciones Diferenciales

> restart;

Instrucciones.

dsolve

La instrucci�n que resuelve ecuaciones diferenciales es ( dsolve ), cuya sintaxis es:

• dsolve( ecuaci�n);
• dsolve( {ecuaci�n, conds_ini}, fun(var), opciones)

Peculiaridades:

• La ecuaci�n puede ser dada en t�rminos de diff o D, aplicados a una funci�n u operador flecha:
• Si no hay signo "=", Maple V asume igualaci�n a cero
• Las condiciones iniciales son una secuencia de ecuaciones de la forma

• donde son constantes simb�licas o valores num�ricos

Las opciones son varios tipos (ver hoja de ayuda [ dsolve ]). Las que mas usaremos son de la forma:

• type=series --------- soluci�n aproximada en series de potencias
• type-numeric ------------ soluci�n num�rica

• output=procedurelist --------------- despliegue en forma de lista
• value=array([x0,x1,.....xn]) ----------- despliegue como arreglo de valores

odeplot

Para graficar soluciones num�ricas usamos la instrucci�n ( odeplot ) que pertence al paquete plots.

La sintaxis es:

donde F es un nombre asignado a la soluci�n num�rica, son valores num�ricos del rango de la variable independiente, las opciones son las de plot.

paquete DEtools

Es un paquete de graficaci�n de soluciones num�ricas de ecuaciones diferenciales, campos de pendientes (isoclinas), espacios de fase, etc. Se recomienda consultar la hoja de ayuda ( DEtools )

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Solucion simb�lica.

Maple V puede resolver analiticamente una gran cantidad de ecuaciones diferenciales

> ecd1:=diff(x(t),t$2)+u*diff(x(t),t)+k*x(t)=1;

Solucion general:

> sol1:=dsolve(ecd1);

Para comprobar la soluci�n, sustituimos y evaluamos

> eval(subs(x(t)=rhs(sol1),ecd1));

La instrucci�n map , simplifica en ambas miembros

> map(simplify,%);

Condiciones iniciales

> ci_1:=x(0)=1, D(x)(0)=0;

> sol1_ptc:=dsolve({ecd1,ci_1}, x(t));

Nota: es posible introducir condiciones iniciales simb�licas (intentarlo...)

Ejercicio

Graficar la soluci�n obtenida, para los valores

Solucion aproximada

La opci�n type=series da la soluci�n en series de potencias

> ecd1; ci_1;

> sol1_apr:=dsolve({ecd1,ci_1}, x(t), type=series);

Ejercicio

Comparar la soluci�n anal�tica y la aproximada, para los valores , en el rango . TIP: es necesario convertir la serie en polinomio para poder graficar la serie truncada

Solucion numerica.

La opci�n type=numeric lleva a la soluci�n num�rica, sin embargo esta opci�n no acepta par�metros simb�licos (como ). Por lo tanto, asignaremos valores num�ricos a estos par�metros

> ecd2:=subs(u=2, k=1, ecd1);

Las condiciones iniciales deben ser puramente num�ricas

> ci_2:=x(0)=0,D(x)(0)=1;

> S:=dsolve({ecd2,ci_2}, x(t), type=numeric);

S es una funci�n num�rica

> S(0); S(0.5); S(0.7);

La gr�fica de la soluci�n num�rica se obtiene con la instrucci�n odeplot , del paquete plots .

> plots[odeplot](S,[t,x(t)],-1..1);

Ejercicio

Trazar las gr�ficas de la soluci�n exacta y la aproximada en series junto con la gr�fica de la soluci�n num�rica. Asignar un color o estilo diferente a cada curva.

Una forma muy �til para examinar una solucion num�rica es pedir el resultado en forma de un arreglo de n valores iniciales. Esto se logra con la opcion display=array([t1, t2......., tn]) , donde t1......tn son n valores de t.

> SS:=dsolve({ecd2,ci_2}, x(t), type=numeric,value=array([0,0.1,0.3,0.5]));

Los valores del arreglo los podemos introducir como una lista que depende de

> IN:=(t1,tn,n)->[seq(t1+i*(tn-t1)/(n-1),i=0..n-1)];

Por ejemplo, 6 valores de t en el rango

> IN(2,4,6);

> SS:=dsolve({ecd2,ci_2}, x(t), type=numeric,value=array(IN(2,4,6)));

Ejercicio

Usar los resultados num�ricos de la derivada de x(t) para trazar la gr�fica de vs t

> restart;

Sistemas.

Maple V tambien puede manejar sistemas de ecuaciones diferenciales.

Soluciones analiticas

> e1:=diff(x(t),t)=t+y(t); e2:=diff(y(t),t)=t-x(t);

Soluci�n general

> dsolve({e1,e2},{x(t),y(t)});

Condiciones iniciales

> ci:=x(0)=1, y(0)=0;

> dsolve({e1,e2,ci}, {x(t),y(t)});

En particular, toda ecuaci�n diferencial de segundo orden es equivalente a dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas. Por ejemplo, la ecuacion que estudiamos anteriormente:

> ecd:=diff(x(t),t$2)+2*diff(x(t),t)+x(t)=1;

es equivalente a

> ec1:=diff(v(t),t)+2*v(t)+x(t)=1; ec2:=diff(x(t),t)=v(t);

> SS:=dsolve({ec1,ec2},{x(t),v(t)});

Condiciones iniciales

> ci:=x(0)=5, v(0)=0;

> SS:=dsolve({ec1,ec2,ci},{x(t),v(t)});

Ejercicios

• Comparar la soluci�n de la ecuaci�n de segundo orden con el de las dos ecuaciones de primer orden.
• Graficar las curvas de , asignando colores diferentes a cada curva

Soluciones num�ricas

> restart;

Veamos la soluci�n num�rica de la ecuaci�n de movimiento de un p�ndulo simple:

*

para valores num�ricos de . Esta ecuaci�n diferencial tiene soluci�n anal�tica, en t�rminos de integrales el�pticas. Sin embargo, la estudiaremos numericamente como un sistema de dos ecuaciones acopladas de primer orden. Consideremos , mts

Las ecuaciones son:

> ec1:=diff(v(t),t)+(9.8/5)*sin(theta(t));
ec2:=v(t)=diff(theta(t),t);

Condiciones iniciales

> ci:=theta(0)=Pi/6,v(0)=0;

Solucion num�rica

> S:=dsolve({ec1,ec2, ci}, {theta(t),v(t)}, type=numeric);

Valores particulares

> S(1); S(1.5); S(8.9);

Despliegue de 10 valores en el rango

> IN:=(t1,tn,n)->[seq( evalf(t1+i*(tn-t1)/(n-1)),i=0..n-1)];

> IN(0,4*Pi,10);

> SS:=dsolve({ec1,ec2, ci}, {theta(t),v(t)}, type=numeric, value=array(IN(0,4*Pi,10)));

Gr�ficas con odeplot

> plots[odeplot](S,[t,theta(t)], 0..4*Pi, numpoints=300);

Comparar las gr�ficas de odeplot para S y SS

> p1:=plots[odeplot](S,[t,theta(t)],0..4*Pi,color=black):
p2:=plots[odeplot](SS,[t,theta(t)],0..4*Pi, color=red): plots[display]({p1,p2});

Para entender bien que sucede, veamos los puntos graficados. En la grafica de SS, solo se grafican los puntos escogidos en el arreglo.

> p1:=plots[odeplot](S,[t,theta(t)],0..4*Pi,color=black, style=point,symbol=cross):
p2:=plots[odeplot](SS,[t,theta(t)],0..4*Pi, color=red, style=point, symbol=box): plots[display]({p1,p2});

Para graficas de sistemas, odeplot permite trazar varias graficas interesantes

Gr�fica de

> plots[odeplot](S, [t,v(t)], 0..4*Pi);

Gr�fica de (espacio de fase)

> plots[odeplot](S, [theta(t),v(t)], 0..4*Pi);

Gr�fica 3dim

> plots[odeplot](S, [t,theta(t),v(t)], 0..4*Pi, axes=boxed,labels=[t,"theta(t)","v(t)"]);

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