GA3.html

Práctica No. 3

Cónicas y Cuádricas

Los objetivos de esta práctica son:

Usar el programa Maple como ayuda para obtener las formas reducidas de cónicas y cuádricas y para familiarizarnos con sus representaciones gráficas.
Analizar diversos comandos de Maple que afectan a cónicas y cuádricas.
Hacer sencillos ejercicios de programación con los conceptos anteriores.

Cónicas

Elipse

Para definir una elipse, se realiza un proceso similar al utilizado en la definición de la circunferencia. Su definición viene dada por la función ellipse , estando determinada entre otras maneras, por cinco puntos no alineados, por el centro y sus dos ejes, o por su ecuación expresada en la forma

La funcion ellipse podrá introducirse de las formas siguientes:

ellipse(e, [P, Q, R, T, U])

ellipse(e, [M, a, b, eje])

ellipse(e, [ecuación])

donde M corresponde al centro de la elipse, a y b son las longitudes de los ejes y eje será x-axis o y-axis, para indicar a que eje corresponde el primer valor involucrado.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación de la elipse, que pasa por los puntos (3, 0), (0, 2), (2, 0), (6, 1) y (4, 2).

Solución

> restart:

> with(geometry):

> _EnvHorizontalName := x: _EnvVerticalName := y:

> point(P,[3,0]),point(Q,[0,2]),point(R,[2,0]),point(S,[6,1]),point(T,[4,2]); # Definimos los puntos

> ellipse(e1,[P,Q,R,S,T]); form(e1);# Definimos la elipse

> Equation(e1); # Ecuación de la elipse

> -1*sort(%,[x,y]); # Ordenamos

>

Veamos la representación gráfica de la elipse e1

> with(plots):

> implicitplot(Equation(e1),x=-10..10,y=-3..3,numpoints=3500,scaling=constrained,title=`Elipse1`);

Ejemplo 2

Definir y graficar la elipse

Solución

> restart:

> with(geometry):

> _EnvHorizontalName := x: _EnvVerticalName := y:

> ellipse(e2,2*x^2+y^2-4*x+4*y=0): # Definimos la elipse e2

> Equation(e2);# Ecuación de la elipse e2

> center(e2), coordinates(center(e2)); # Coordenadas del centro

> foci(e2), map(coordinates,foci(e2)); # Coordenadas de los focos

> MajorAxis(e2), MinorAxis(e2); # Longitudes de los ejes mayor y menor

> detail(e2);

$`name of the object: e2\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [1, -2]\nfoci: [[1, -2-3^(1/2)], [1, -2+3^(1/2)]]\nlength of the major axis: 2*6^(1/2)\nlength of the minor axis: 2*3^(1/2)\nequati...$
$`name of the object: e2\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [1, -2]\nfoci: [[1, -2-3^(1/2)], [1, -2+3^(1/2)]]\nlength of the major axis: 2*6^(1/2)\nlength of the minor axis: 2*3^(1/2)\nequati...$
$`name of the object: e2\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [1, -2]\nfoci: [[1, -2-3^(1/2)], [1, -2+3^(1/2)]]\nlength of the major axis: 2*6^(1/2)\nlength of the minor axis: 2*3^(1/2)\nequati...$
$`name of the object: e2\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [1, -2]\nfoci: [[1, -2-3^(1/2)], [1, -2+3^(1/2)]]\nlength of the major axis: 2*6^(1/2)\nlength of the minor axis: 2*3^(1/2)\nequati...$
$`name of the object: e2\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [1, -2]\nfoci: [[1, -2-3^(1/2)], [1, -2+3^(1/2)]]\nlength of the major axis: 2*6^(1/2)\nlength of the minor axis: 2*3^(1/2)\nequati...$
$`name of the object: e2\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [1, -2]\nfoci: [[1, -2-3^(1/2)], [1, -2+3^(1/2)]]\nlength of the major axis: 2*6^(1/2)\nlength of the minor axis: 2*3^(1/2)\nequati...$
$`name of the object: e2\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [1, -2]\nfoci: [[1, -2-3^(1/2)], [1, -2+3^(1/2)]]\nlength of the major axis: 2*6^(1/2)\nlength of the minor axis: 2*3^(1/2)\nequati...$

> with(plots):

> implicitplot(Equation(e2),x=-1..3,y=-5..1,numpoints=3500,scaling=constrained,title=`Elipse e2`); # Gráfica de la elipse e2

Ejemplo 3

Hallar la ecuación de la elipse tal que los puntos A=(4, 0), B=(-4, 0) son los extemos del eje mayor, y E=(0, 3), F=(0, -3) son los extremos del eje menor.

Solución

> restart:

> with(geometry):

> _EnvHorizontalName := x: _EnvVerticalName := y:

> point(A,4,0), point(B,-4,0), point(E,0,3), point(F,0,-3);
# Definimos los puntos extremos

> ellipse(e3,['MajorAxis'=[A,B],'MinorAxis'=[E,F]]);# Definimos la elipse e3

> Equation(e3); # Ecuación de la elipse e3

>

Veamos la representación gráfica de la elipse e3

> with(plots):

> implicitplot(Equation(e3),x=-5..5,y=-4..4,numpoints=3500,scaling=constrained,title=`Elipse3`);

Ejemplo 4

Determine si la la gráfica de la ecuación es una elipse, un punto o el conjunto vacio.

Solución

> restart;

> with(student):

> completesquare(25*x^2+9*y^2+150*x-36*y+36 = 0, y);

> completesquare(%, x);

> lhs(%)+225=rhs(%)+225;

> (lhs(%)/225)=(rhs(%)/225);

Por lo tanto, la gráfica de la ecuación es una elipse con las caracterizticas siguientes:

> with(geometry):

> _EnvHorizontalName := x: _EnvVerticalName := y:

> ellipse(e4,25*x^2+9*y^2+150*x-36*y+36 = 0): # Definimos la elipse e4

> detail(%);

$`name of the object: e4\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [-3, 2]\nfoci: [[-3, -2], [-3, 6]]\nlength of the major axis: 10\nlength of the minor axis: 6\nequation of the ellipse: 25*x^2+9*y...$
$`name of the object: e4\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [-3, 2]\nfoci: [[-3, -2], [-3, 6]]\nlength of the major axis: 10\nlength of the minor axis: 6\nequation of the ellipse: 25*x^2+9*y...$
$`name of the object: e4\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [-3, 2]\nfoci: [[-3, -2], [-3, 6]]\nlength of the major axis: 10\nlength of the minor axis: 6\nequation of the ellipse: 25*x^2+9*y...$
$`name of the object: e4\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [-3, 2]\nfoci: [[-3, -2], [-3, 6]]\nlength of the major axis: 10\nlength of the minor axis: 6\nequation of the ellipse: 25*x^2+9*y...$
$`name of the object: e4\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [-3, 2]\nfoci: [[-3, -2], [-3, 6]]\nlength of the major axis: 10\nlength of the minor axis: 6\nequation of the ellipse: 25*x^2+9*y...$
$`name of the object: e4\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [-3, 2]\nfoci: [[-3, -2], [-3, 6]]\nlength of the major axis: 10\nlength of the minor axis: 6\nequation of the ellipse: 25*x^2+9*y...$
$`name of the object: e4\nform of the object: ellipse2d\ncenter: [-3, 2]\nfoci: [[-3, -2], [-3, 6]]\nlength of the major axis: 10\nlength of the minor axis: 6\nequation of the ellipse: 25*x^2+9*y...$

> with(plots):

> implicitplot(Equation(e4),x=-6..6,y=-4..8,numpoints=3500,scaling=constrained,title=`Elipse e4`); # Gráfica de la elipse e4

Procedimientos

Ejemplo 1

Graficar para a = 1, 3,5, 7

> restart:

> with(plots):

> for a from 1 by 2 to 7 do

> implicitplot(x^2/(a^2)+y^2 = 1,x=-10..8, y=-2..2, scaling=constrained, axes=normal,grid=[100,100]);

> od;

También podemos usar los comandos siguientes

> with(plots):

> implicitplot({seq(x^2/(2*j-1)+y^2 = 1,j=1..4)},x=-8..8, y=-8..8, scaling=constrained, axes=normal,grid=[100,100]);

Ejemplo 2

Graficar para b = 1, 3,5, 7

> restart:

> with(plots):

> for b from 1 by 2 to 7 do

> implicitplot(x^2+y^2/(b^2) = 1,x=-2..2, y=-8..8, scaling=constrained, axes=normal,grid=[100,100]);

> od;

También podemos usar los comandos siguientes

> with(plots):

> implicitplot({seq(x^2+y^2/(2*j-1) = 1,j=1..4)},x=-8..8, y=-8..8, scaling=constrained, axes=normal,grid=[100,100]);

>

Ejemplo 3

Graficar para c = -2, 0, 2, 4, 6.

> restart:

> with(plots):

> for c from -2 by 2 to 6 do

> implicitplot(x^2/9+y^2/4 = c,x=-10..8, y=-8..8, scaling=constrained, axes=normal,grid=[100,100]);

> od;

También podemos usar los comandos siguientes

> with(plots):

> implicitplot({seq(x^2/9+y^2/4 = 2*j,j=-1..3)},x=-8..8, y=-8..8, scaling=constrained, axes=normal,grid=[100,100]);

Hipérbola

Para definir una hipérbola, procedemos de la misma forma que hicimos con las figuras geométricas anteriores. Una hipérbola tiene la forma:

Orden ........: hyperbola
Sinátxis ......: hyperbola(p, [A,B,C,E,F], n )
hyperbola(p, ['directrix'=dir,'focus'=fou, 'eccentricity'=ecc, n )
hyperbola(p, ['foci'=foi,'vertices'=ver,n )
hyperbola(p, ['foci'=foi,'distancev'=disv,n )
hyperbola(p, ['vertices'=ver,'distancef'=disf,n )
hyperbola(p, eqn, n )

Propósito ...: Define una hipérbola p donde A,B,C,E,F, son cinco puntos no colineales.
Define una hipérbola p donde directrix es la ecuación de la directriz, focus es el punto del foco, 'eccentridity' es la ecuación de la ...