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Práctica No. 2

Circunferencias y Esferas

Los objetivos de esta práctica son:

Usar el programa Maple en el estudio de circunferencias y esferas, sus relaciones con rectas y planos, asi como su visualización gráfica .
Analizar diversos comandos de Maple que afectan a circunferencias y esferas.
Hacer sencillos ejercicios de programación con los conceptos anteriores.

Circunferencias

Una circunferencia, se puede definir en términos de 3 puntos no colineales, del centro y del radio o por una ecuación. Una circunferencia en Maple tiene la forma:

Orden ..........: circle

Sintaxis ........: circle(C,[P, Q, R]);

circle(D,[M, r]);

circle(E,[ecuación]);

Propósito......: Define la circunferencia C , que pasa por los puntos P , Q y R .

Define la circunferencia D , con centro en el punto M y radio r .

Define la circunferencia E como su ecuación.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P = (2, 3) , Q = (1, 2) y R = (0,-3).

Solución

> restart:

> with(geometry):

> _EnvHorizontalName := x: _EnvVerticalName := y:

Definimos los puntos:

> point(P,[2,3]),point(Q,[1,2]), point(R,[0,-3]);

Definimos la circunferencia:

> circle(C,[P,Q,R]),form(C);

> radius(C);coordinates(center(C));

> Equation(C);

> detail(C);

$`name of the object: C\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C\ncoordinates of the center: [11/2, -3/2]\nradius of the circle: 1/2*65^(1/2)*2^(1/2)\nequation of the circle: x^...$
$`name of the object: C\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C\ncoordinates of the center: [11/2, -3/2]\nradius of the circle: 1/2*65^(1/2)*2^(1/2)\nequation of the circle: x^...$
$`name of the object: C\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C\ncoordinates of the center: [11/2, -3/2]\nradius of the circle: 1/2*65^(1/2)*2^(1/2)\nequation of the circle: x^...$
$`name of the object: C\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C\ncoordinates of the center: [11/2, -3/2]\nradius of the circle: 1/2*65^(1/2)*2^(1/2)\nequation of the circle: x^...$
$`name of the object: C\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C\ncoordinates of the center: [11/2, -3/2]\nradius of the circle: 1/2*65^(1/2)*2^(1/2)\nequation of the circle: x^...$
$`name of the object: C\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C\ncoordinates of the center: [11/2, -3/2]\nradius of the circle: 1/2*65^(1/2)*2^(1/2)\nequation of the circle: x^...$

Ahora obtengamos la gráfica de la circunferencia:

> with(plots):

> implicitplot(Equation(C),x=-10..25,y=-10..10,scaling=constrained);

Lo que también podriamos dibujar usando la orden draw

> draw(C(color=cyan),filled=true);

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P = (2, 3) y radio r = 4 .

Solución

> restart:

> with(geometry):

> _EnvHorizontalName := x: _EnvVerticalName := y:

Definimos el centro

> point(P,[2,3]);

Definimos la cincunferencia C1 :

> circle(C1,[P,4]),form(C1);

> radius(C1);coordinates(center(C1));

> Equation(C1);

> detail(C1);

$`name of the object: C1\nform of the object: circle2d\nname of the center: P\ncoordinates of the center: [2, 3]\nradius of the circle: 4\nequation of the circle: -3+x^2+y^2-4*x-6*y = 0`$
$`name of the object: C1\nform of the object: circle2d\nname of the center: P\ncoordinates of the center: [2, 3]\nradius of the circle: 4\nequation of the circle: -3+x^2+y^2-4*x-6*y = 0`$
$`name of the object: C1\nform of the object: circle2d\nname of the center: P\ncoordinates of the center: [2, 3]\nradius of the circle: 4\nequation of the circle: -3+x^2+y^2-4*x-6*y = 0`$
$`name of the object: C1\nform of the object: circle2d\nname of the center: P\ncoordinates of the center: [2, 3]\nradius of the circle: 4\nequation of the circle: -3+x^2+y^2-4*x-6*y = 0`$
$`name of the object: C1\nform of the object: circle2d\nname of the center: P\ncoordinates of the center: [2, 3]\nradius of the circle: 4\nequation of the circle: -3+x^2+y^2-4*x-6*y = 0`$
$`name of the object: C1\nform of the object: circle2d\nname of the center: P\ncoordinates of the center: [2, 3]\nradius of the circle: 4\nequation of the circle: -3+x^2+y^2-4*x-6*y = 0`$

Ahora obtengamos la gráfica de la circunferencia:

> with(plots):

> implicitplot(Equation(C1),x=-10..20,y=-5..10,scaling=constrained,filled=true);

Lo que también podriamos dibujar usando la orden draw

> draw(C1(color=blue),filled=true);

>

Ejemplo 3

Definir y graficar la circunferencia que tiene por ecuación .

Solución

> restart:

> with(geometry):

> _EnvHorizontalName := x: _EnvVerticalName := y:

Definimos la cincunferencia C2 :

> circle(C2,x^2+y^2=4);form(C2);

> radius(C2);coordinates(center(C2));

> Equation(C2);

> detail(C2);

$`name of the object: C2\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C2\ncoordinates of the center: [0, 0]\nradius of the circle: 4^(1/2)\nequation of the circle: -4+x^2+y^2 = 0`$
$`name of the object: C2\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C2\ncoordinates of the center: [0, 0]\nradius of the circle: 4^(1/2)\nequation of the circle: -4+x^2+y^2 = 0`$
$`name of the object: C2\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C2\ncoordinates of the center: [0, 0]\nradius of the circle: 4^(1/2)\nequation of the circle: -4+x^2+y^2 = 0`$
$`name of the object: C2\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C2\ncoordinates of the center: [0, 0]\nradius of the circle: 4^(1/2)\nequation of the circle: -4+x^2+y^2 = 0`$
$`name of the object: C2\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C2\ncoordinates of the center: [0, 0]\nradius of the circle: 4^(1/2)\nequation of the circle: -4+x^2+y^2 = 0`$
$`name of the object: C2\nform of the object: circle2d\nname of the center: center_C2\ncoordinates of the center: [0, 0]\nradius of the circle: 4^(1/2)\nequation of the circle: -4+x^2+y^2 = 0`$

Ahora obtengamos la gráfica de la circunferencia C2 :

> with(plots):

> implicitplot(Equation(C2),x=-3..3,y=-3..3,scaling=constrained);

Lo que también podriamos dibujar usando la orden draw

> draw(C2(color=pink),filled=true);

>

Ejemplo 4

Hállese la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en (3, 1).

Solución

> restart;

> with(student);

Escribimos la ecuación en su forma ordinaria :

> completesquare(x^2+y^2-2*x+y =5,y);

> completesquare(%, x);

> lhs(%)+5/4=rhs(%)+5/4;

El centro es el punto (1, -1/2), y el radio es 5/2 .

El radio que va a (3, 1) tiene pendiente

> m[1]:=slope([1,-1/2],[3,1]);

Por tanto, la tangente en (3, 1) tiene pendiente

> m[2]:=-1/m[1];

y su ecuación es

> y-1=(-4/3)*(x-3);

> 3*lhs(%)=3*rhs(%);

> lhs(%)+4*x+3=rhs(%)+4*x+3;

> sort(%,[x,y]);

>

Gráficas de la circunferencia y la tangente :

> with(plots):

> implicitplot([x^2+y^2-2*x+y=5,4*x+3*y=15],x=-2..6, y=-3..5);

>

Ejemplo 5

Hállese la ecuación de la circunferencia que pasa por los dos puntos de intersección de

y y el punto (2, 1).

Solución

Definimos las circunferencias :

>

Esferas

Una esfera es una figura geométrica del espacio y está definida como el conjunto de todos los puntos en el espacio que equidistan de otro punto fijo llamado centro.

Podemos definir una esfera de las formas siguientes:
Orden ........: sphere
Sintáxis ......: sphere (s, [A, B, C, D], n, 'centername'=m )
sphere(s, [A, B], n, 'centername'=m )
sphere(s, [A, rad], n, 'centername'=m )
sphere(s, [A, p], n, 'centername'=m )
sphere(s, eqn, n, 'centername'=m )

Propósito ...: Define la esfera s , teniendo un conjunto de cuatro puntos y el centro.
Define la esfera s , teniendo dos puntos que son los extremos de un diámetro y el centro.
Define la esfera s , teniendo un punto y el radio.
Define la esfera s , teniendo un punto y el plano tangente a la esfera.
Define la esfera s , teniendo la ecuación.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A = (1, 0, 0) , B = (-1, 0, 0), C= (0,-3), y D = (0, 0,1 ).

Solución

> restart:

> with(geom3d):

> _EnvXName := x: _EnvYName := y: _EnvZName := z:

Definimos los puntos :

> point(A,1,0,0),point(B,-1,0,0),point(C,0,1,0),point(D,0,0,1),form(A);

Warning, a geometry object has been assigned to the protected name D.  Use of protected names for geometry objects is not recommended and may break Maple functionality.

Definimos la esfera s :

> sphere(s,[A,B,C,D]),form(s);

Ecuación de la esfera :

> Equation(s);

> sort(%,[x,y,z]);

>

Gráfica de la esfera :

> draw(s,orientation=[103,94]);

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la esfera con centro en el punto P = (1,1,1) , y radio r = 3 .

Solución

> restart:

> with(geom3d):

> _EnvXName := x: _EnvYName := y: _EnvZName := z:

> centro:=point(CE,1,1,1); # Definimos el centro

> sphere(s1,[centro,3]),form(s1); # Definimos la esfera

> Equation(s1); # Ecuación de la esfera

> sort(%,[x,y,z]);

> draw(s1,orientation=[103,94]); # Gráfica de la esfera s1

>

Ejemplo 3

Hallar la ecuación de la esfera tal que los puntos P = (1,1,1) y Q = (0, 0, 0) forman los extremos de un diámetro.

Solución

> restart:

> with(geom3d):

> _EnvXName := x: _EnvYName := y: _EnvZName := z:

> point(A1,1,1,1),form(A1),point(A2,0,0,0),form(A2); # Definimos los puntos extremos del diámetro.

> sphere(s3,[A1,A2]),form(s3); # Definimos la esfera

> Equation(s3); # Ecuación de la esfera

> sort(%,[x,y,z]);

> draw(s3,orientation=[103,94]); # Gráfica de la esfera s3

Ejemplo 4

Hallar la ecuación de la esfera que tiene como centro el punto P = (5,5,4) y tangente al plano x - y + 4z = 1 .

Solución

> restart:

> with(geom3d):

> _EnvXName := x: _EnvYName := y: _EnvZName := z:

> plane(p,x-y+4*z=1,[x,y,z]),form(p); # Definimos el plano.

> point(F,[5,5,4]),form(F);# Definimos el punto central.

> sphere(s4,[F,p]),form(s4); # Definimos la esfera

> Equation(s4); # Ecuación de la esfera

> sort(%,[x,y,z]);

> draw(s4,orientation=[103,94]); # Gráfica de la esfera s4

Ejemplo 5

Vamos a generar una esfera que crece alrededor del punto ( 2, 3, 4).

> restart:

> with(geom3d):

> _EnvXName := x: _EnvYName := y: _EnvZName := z:

> point(h,2,3,4),form(h);

> seq((sphere(s||i,[h,i]),i=1..5)),form(s4);# Definimos una suseción de esferas

> Equation(s3); # Ecuación de la esfera s3

> Esferas:=seq(draw(s||i),i=1..5):

> with(plots):

> display(Esferas,insequence=true);

Ejemplo 6

Veamos una esfera rodando por un plano.

> restart:

> with(geom3d):

> _EnvXName := x: _EnvYName := y: _EnvZName := z:

> plane(p,x-y+4*z=1,[x,y,z]),form(p);

> seq(sphere(o||i,[point(F||i,[i,4,4]),p]),i=1..5);

> form(o4);

> Equation(o4);

> Esferas2:=seq(draw(o||i),i=1..5):

> display(Esferas2,insequence=true):