Variable Compleja

Descripción

En este curso se presenta a la Variable Compleja y Tranformadas Integrales como una herramienta matemática para resolver problemas. Es un curso a nivel introductorio en el cual se proporcionará al alumno la herramienta necesaria que más tarde le permita abordar problemas de distintas áreas de la Computación.

Objetivo General

Proporcionar los conocimientos fundamentales de la Variable Compleja y las Transformadas Integrales(Fourier, Laplace y Zeta) que dan las bases sólidas que mas tarde le permita abordar problemas para disitintas áreas de la Computación tales como Control Digital, Teoría de Control, Telemática.

Objetivos Especificos

1. El alumno sabrá reconocer cuando una función de variable compleja es analítica en una región del plano complejo.

2. Hallará la representación parametrica de curvas suaves por tramos (contornos), así como calculará integrales sobre dichas curvas.

3. Sabrá aplicar la formula integral de Cauchy en el calculo de integrales, así como extensiones de la misma.

4. El alumno reconocerá a las Transformadas Integrales ( Fourier, Laplace y Zeta ) como una herramienta indispensable en el estudio de diversas áreas de la Computación.

5. Sabrá calcular las transformadas de Laplace, Fourier y Zeta.

Contenido del Curso

1. La función Compleja y sus Derivadas

   1. Funciones de una variable compleja
   2. Limites y Continuidad
   3. La Derivada Compleja
   4. La Derivada y la Analiticidad
   5. Funciones Armónicas.
   
   

2. Integración en el Plano Complejo

   1. Integrales de Línea en el Plano Complejo
   2. El teorema de Green y sus Consecuencias
   3. La Fórmula Integral de Cauchy y su Extensión
   4. Algunas Aplicaciones de la Fórmula Integral de Cauchy.
   
   

3. Series Infinitas de una Variable Compleja

   1. Sucesiones y Series de Funciones
   2. Convergencia de Series Complejas
   3. Convergencia Uniforme de una Serie
   4. Series de Potencias y Series de Taylor
   5. Series de Laurent.
   
   

4. Transformadas Integrales

   1. Tranformada y Series de Fourier

      1. Series de Fourier.

         Necesidad de las series de Fourier, funciones periódicas, funciones continuas por intervalos, Definición de Series de Fourier, Funciones pares e impares, Integración y Diferenciación de Series de Fourier, Notación Compleja de Series de Fourier.
         

      2. Funciones Ortogonales.

         Definiciones que comprenden funciones ortogonales, conjuntos ortonormales, desarrollo de funciones en series ortonormales, identidad de Parseval para series ortonormales, sistemas de Sturm-Liouville, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, funciones gamma, beta y otras funciones especiales.

      3. Integrales de Fourier.

         Necesidad de las integrales de Fouirier, la integral de Fourier, transformaciones de Fourier, transformaciones de Fourier de seno y coseno, identidades de Parseval para integrales de Fourier, el teorema de convolución para transformaciones de Fourier.
      
      

   2. Transformada de Laplace.

      1. Definición y propiedades básicas de la transformada de Laplace
      2. Fórmulas Elementales
      3. Transformada Inversa de Laplace
      4. La Transformada de Laplace y las Ecuaciones Diferenciales
      5. Método de Transformada de Laplace para Sistemas.

   3. La Transformada Zeta.

   1. Definición y Ejemplos de la Transformada Zeta
   2. Transformada Zeta inversa del producto de dos funciones
   3. Ecuaciones en Diferencias y Transformada Zeta.

Cronograma

1. Unidad 1: 3 semanas
2. Unidad 2: 3 semanas
3. Unidad 3: 3 semanas
4. Unidad 4: 7 semanas

Bibliografia

1. Variable Compleja con Aplicaciones, A.David Wunsch, Addison Wesley Iberoamericana.
2. Variable Compleja, Marsden, Editorial Trillas.
3. Variable Compleja con Aplicaciones, William R. Derrick, Grupo Editorial Iberoamérica.
4. Introducción a las Variables Complejas, Peter Colwell, Jerold C. Mathews, Editorial Trillas.
5. Variable Compleja, Churchil, Mc-Graw Hill.
6. Variable Compleja, Murray R Spiegel, Mc-Graw Hill.
7. Variable Compleja, Cesar A. Trejo, Editorial Harla .
8. Funciones de Variable Compleja, José I. Nieto, Organización de los Estados Americanos.
9. Análisis de Fourier, Murray R. Spiegel, Mc-Graw Hill.
10. Series de Fourier y Problemas de Valores en la Frontera, Chuchill, Mc-Graw Hill.
11. Análìsis de Fourier, Hwei P. Hsu, Fondo Educativo Interamericano.
12. Transformada de Laplace, Murray R. Spiegel, Mc Graw Hill.

Tareas

1. Numeros Complejos

2. Funciones, Limites y Continuidad

3. Diferenciación

4. Integración

5. Series Infinitas

6. Transformadas Integrales

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